01. Logique Mathématique
Fondements de la logique formelle: propositions, prédicats, quantificateurs et systèmes de preuves.
La logique mathématique est le langage formel des mathématiques et de l’informatique. Elle fournit les outils pour raisonner de manière rigoureuse, construire des preuves valides, et analyser la structure des arguments.
Ce cours couvre la logique propositionnelle classique et la logique des prédicats du premier ordre — les deux piliers sur lesquels reposent les mathématiques modernes, la théorie de la calculabilité, et la vérification formelle des programmes.
Objectifs d’apprentissage
À la fin de ce cours, vous serez capable de:
- Formaliser des énoncés en langage logique
- Construire et vérifier des tables de vérité
- Appliquer les lois de l’algèbre booléenne
- Manipuler les quantificateurs universels et existentiels
- Construire des preuves formelles en déduction naturelle
- Reconnaître les arguments valides et les sophismes
Prérequis
Aucun prérequis formel. Une familiarité avec les mathématiques du secondaire est utile mais non obligatoire.
Durée estimée
3 heures (lecture et exercices).
- 01. Fondements et Histoire Origines de la logique formelle, d'Aristote à Frege, et motivations pour l'étude rigoureuse du raisonnement.
- 02. Propositions et Connecteurs Syntaxe de la logique propositionnelle: variables, connecteurs logiques et construction de formules.
- 03. Tables de Vérité Construction systématique des tables de vérité, évaluation des formules, tautologies, contradictions et satisfiabilité.
- 04. Équivalences et Formes Normales Lois de l'algèbre booléenne, formes normales conjonctives et disjonctives, simplification et complétude fonctionnelle.
- 05. Logique des Prédicats Limites de la logique propositionnelle, termes, prédicats, fonctions et syntaxe de la logique du premier ordre.
- 06. Quantificateurs Quantificateurs universel et existentiel, portée, équivalences et négation des formules quantifiées.
- 07. Systèmes de Preuves Déduction naturelle, règles d'introduction et d'élimination, construction de preuves formelles et complétude.
- 08. Applications de la Logique Applications en informatique: vérification formelle, bases de données, circuits logiques et intelligence artificielle.